קיץ 2025 מועד ב – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2025 מועד ב – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

23 + 69 + 1027 + … + 4n − 23ⁿ

= 2 − 2n + 23ⁿ

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

23 + 69 + 1027 + … + 4n − 23ⁿ
= 2 − 2n + 23ⁿ

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: 23. אגף ימין:

2 − 43 = 6 − 43 = 23 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

23 + … + 4k − 23^k = 2 − 2k + 23^k

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

23 + 69 + 1027 + … + 4n − 23ⁿ
= 2 − 2n + 23ⁿ

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

האיבר האחרון בעבור n = k + 1: 4(k + 1) − 23^{k + 1} = 4k + 23^{k + 1}. ובאגף ימין 2(k + 1) + 2 = 2k + 4:

23 + … + 4k + 23^{k + 1}

= 2 − 2k + 43^{k + 1}

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 2 − 2k + 23^k + 4k + 23^{k + 1}

מכנה משותף 3^{k + 1}, כי 3^{k + 1} = 3 · 3^k:

📐 חוקי חזקות

📐 הנחת האינדוקציה

23 + … + 4k − 23^k = 2 − 2k + 23^k

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

23 + 69 + 1027 + … + 4n − 23ⁿ
= 2 − 2n + 23ⁿ

מכנה משותף 3^{k + 1}, כי 3^{k + 1} = 3 · 3^k:

📐 חוקי חזקות

= 2 − 3(2k + 2) − (4k + 2)3^{k + 1}

= 2 − 6k + 6 − 4k − 23^{k + 1}

= 2 − 2k + 43^{k + 1} ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא